京都教育大学
2014年 教育学部 第3問
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次の問に答えよ.
(1) $\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$は異なる$3$点,$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{AB}$の中点であるとする.このとき, \[ \mathrm{OA}^2+\mathrm{OB}^2=2(\mathrm{AM}^2+\mathrm{OM}^2) \] であることを証明せよ.
(2) $xy$平面の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$3$の円を$\mathrm{O}_3$,$xy$平面の$\mathrm{O}$を中心とする半径$4$の円を$\mathrm{O}_4$とする.さらに$\mathrm{AB}$は$xy$平面上の長さ$6$の線分,$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{AB}$の中点であるとする.次の条件$p,\ q$を考える.
$p:2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}_4$の内部にある.
$q:$点$\mathrm{M}$は$\mathrm{O}_3$の内部にある.
このとき,次の問に答えよ.
(ⅰ) $p$は$q$であるための十分条件であることを証明せよ.
(ⅱ) $p$は$q$であるための必要条件ではないことを証明せよ.
(1) $\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$は異なる$3$点,$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{AB}$の中点であるとする.このとき, \[ \mathrm{OA}^2+\mathrm{OB}^2=2(\mathrm{AM}^2+\mathrm{OM}^2) \] であることを証明せよ.
(2) $xy$平面の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$3$の円を$\mathrm{O}_3$,$xy$平面の$\mathrm{O}$を中心とする半径$4$の円を$\mathrm{O}_4$とする.さらに$\mathrm{AB}$は$xy$平面上の長さ$6$の線分,$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{AB}$の中点であるとする.次の条件$p,\ q$を考える.
$p:2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}_4$の内部にある.
$q:$点$\mathrm{M}$は$\mathrm{O}_3$の内部にある.
このとき,次の問に答えよ.
(ⅰ) $p$は$q$であるための十分条件であることを証明せよ.
(ⅱ) $p$は$q$であるための必要条件ではないことを証明せよ.
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