岡山大学
2016年 文系 第2問
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![座標空間内に,原点O(0,0,0)を中心とする半径1の球面Sと2点A(0,0,1),B(0,0,-1)がある.Oと異なる点P(s,t,0)に対し,直線APと球面Sの交点でAと異なる点をQとする.さらに直線BQとxy平面の交点をR(u,v,0)とする.このとき以下の問いに答えよ.(1)ふたつの線分OPとORの長さの積を求めよ.(2)s,tをそれぞれu,vを用いて表せ.(3)点Pがxy平面内の直線ax+by=1(a^2+b^2≠0)上を動くとき,対応する点Rはxy平面内の同一円周上にあることを証明せよ.](./thumb/612/1190/2016_2.png)
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座標空間内に,原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球面$S$と$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$がある.$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$に対し,直線$\mathrm{AP}$と球面$S$の交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする.さらに直線$\mathrm{BQ}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{R}(u,\ v,\ 0)$とする.このとき以下の問いに答えよ.
(1) ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ.
(2) $s,\ t$をそれぞれ$u,\ v$を用いて表せ.
(3) 点$\mathrm{P}$が$xy$平面内の直線$ax+by=1 \ \ (a^2+b^2 \neq 0)$上を動くとき,対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ.
(1) ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ.
(2) $s,\ t$をそれぞれ$u,\ v$を用いて表せ.
(3) 点$\mathrm{P}$が$xy$平面内の直線$ax+by=1 \ \ (a^2+b^2 \neq 0)$上を動くとき,対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ.
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