九州工業大学
2010年 工学部 第4問
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次に答えよ.ただし,対数は自然対数とする.必要ならば,$1.09<\log 3<1.10$を用いてよい.
(1) すべての$x>0$に対して,不等式 \[ x-\frac{x^2}{2} < \log (1+x) \] が成り立つことを示せ.
(2) 関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{x^2}{3}-\log (1+x)$の$0 \leqq x \leqq 2$における最大値,および最小値を求めよ.
(3) 方程式$\displaystyle x-\frac{x^2}{3}=\log (1+x)$は$0<x<2$の範囲に解を1つだけもつことを示せ.
(4) (3)における解を$\alpha \ (0<\alpha<2)$とする.曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$と曲線$y=\log (1+x)$で囲まれた図形($0 \leqq x \leqq \alpha$の部分)の面積を$S$とする.また,曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$,$y=\log (1+x)$と直線$x=2$で囲まれた図形($\alpha \leqq x \leqq 2$の部分)の面積を$T$とする.$S$と$T$の大小を比較せよ.
(1) すべての$x>0$に対して,不等式 \[ x-\frac{x^2}{2} < \log (1+x) \] が成り立つことを示せ.
(2) 関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{x^2}{3}-\log (1+x)$の$0 \leqq x \leqq 2$における最大値,および最小値を求めよ.
(3) 方程式$\displaystyle x-\frac{x^2}{3}=\log (1+x)$は$0<x<2$の範囲に解を1つだけもつことを示せ.
(4) (3)における解を$\alpha \ (0<\alpha<2)$とする.曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$と曲線$y=\log (1+x)$で囲まれた図形($0 \leqq x \leqq \alpha$の部分)の面積を$S$とする.また,曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$,$y=\log (1+x)$と直線$x=2$で囲まれた図形($\alpha \leqq x \leqq 2$の部分)の面積を$T$とする.$S$と$T$の大小を比較せよ.
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