次の各問いに答えよ．
(1) $x \geqq 1,\ k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$として \[ I_k(x)=\int \frac{(\log x)^k}{x^2} \, dx \] とおくとき，$I_0(x)$を求め，$I_{k+1}(x)$を$I_k(x)$を用いて表せ．また$I_4(x)$を求めよ．
(2) $x>0$で不等式$\displaystyle \log x \leqq \frac{3}{e}x^{\frac{1}{3}}$が成り立つことを証明せよ．
(3) 関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$に関する以下の各問いに答えよ．
(ⅰ) $y=f(x) \ \ (x \geqq 1)$の極値，極限$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$を調べ，増減表を作り，グラフの概形を描け．
(ⅱ) $n>1$として，$y=f(x)$と$2$直線$x=n$，$x=n^2$および$x$軸で囲まれる部分$D_n$の面積$S_n$を求めよ．
(ⅲ) $D_n$を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積$V_n$を求めよ． [$\tokeishi$] 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{nV_n}{(\log n)S_n}$の値を求めよ．