日本医科大学
2013年 医学部 第1問
1
1
$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-3 & 6
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
a-2 & -1 \\
a^2-2a-4 & 2a-6
\end{array} \right)$に対して，以下の各問いに答えよ．
(1) 行列$A-kE$が逆行列をもたないような定数$k$の値を求めよ．ただし$E$は$2$次の単位行列を表す．
(2) $(1)$で求めた$k$の値を小さい順に$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha P+\beta Q=A$，$P+Q=E$を満たす行列$P,\ Q$を求めよ．
(3) 行列の積$P^2,\ Q^2,\ PQ,\ QP$を求めよ．
(4) 行列$A$の$n$乗$A^n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
(5) $a>0$として，行列$C$を$C=A+B$と定めるとき，行列$C-kE$が逆行列をもたないような定数$k$の値がただ$1$つしかないという．このような定数$k$および$a$の値を求めよ． $(5)$で求めた$k$を用いて行列$N$を$N=C-kE$と定めるとき，$N^2$を求めよ． 行列$C$の$n$乗$C^n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
(1) 行列$A-kE$が逆行列をもたないような定数$k$の値を求めよ．ただし$E$は$2$次の単位行列を表す．
(2) $(1)$で求めた$k$の値を小さい順に$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha P+\beta Q=A$，$P+Q=E$を満たす行列$P,\ Q$を求めよ．
(3) 行列の積$P^2,\ Q^2,\ PQ,\ QP$を求めよ．
(4) 行列$A$の$n$乗$A^n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
(5) $a>0$として，行列$C$を$C=A+B$と定めるとき，行列$C-kE$が逆行列をもたないような定数$k$の値がただ$1$つしかないという．このような定数$k$および$a$の値を求めよ． $(5)$で求めた$k$を用いて行列$N$を$N=C-kE$と定めるとき，$N^2$を求めよ． 行列$C$の$n$乗$C^n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
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