高知大学
2012年 理学部・医学部 第4問
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![次の問いに答えよ．(1)次の不定積分を求めよ．∫log(1+x)dx(2)関数f(x)が区間[0,1]で連続な増加関数であって，常にf(x)≧0であるものとする．また，nを自然数とする．このとき，次の不等式が成り立つことを示せ．0≦1/nΣ_{k=1}^nf(k/n)-∫_0^1f(x)dx≦1/n{f(1)-f(0)}(3)f(x)=log(1+x)に対して(2)の結果を用いて，次の極限値を求めよ．\lim_{n→∞}[1/nlog{(1+1/n)(1+2/n)・・・(1+n/n)}]](./thumb/674/2898/2012_4.png)
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次の問いに答えよ．
(1) 次の不定積分を求めよ． \[ \int \log (1+x) \, dx \]
(2) 関数$f(x)$が区間$[0,\ 1]$で連続な増加関数であって，常に$f(x) \geqq 0$であるものとする．また，$n$を自然数とする．このとき，次の不等式が成り立つことを示せ． \[ 0 \leqq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) -\int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{n} \{ f(1)-f(0) \} \]
(3) $f(x)=\log (1+x)$に対して(2)の結果を用いて，次の極限値を求めよ． \[ \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \log \left\{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) \left( 1+\frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1+\frac{n}{n} \right) \right\} \right] \]
(1) 次の不定積分を求めよ． \[ \int \log (1+x) \, dx \]
(2) 関数$f(x)$が区間$[0,\ 1]$で連続な増加関数であって，常に$f(x) \geqq 0$であるものとする．また，$n$を自然数とする．このとき，次の不等式が成り立つことを示せ． \[ 0 \leqq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) -\int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{n} \{ f(1)-f(0) \} \]
(3) $f(x)=\log (1+x)$に対して(2)の結果を用いて，次の極限値を求めよ． \[ \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \log \left\{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) \left( 1+\frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1+\frac{n}{n} \right) \right\} \right] \]
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