横浜市立大学
2011年 医学部 第3問
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平面上の点$\mathrm{A}$を中心とする半径$a$の円から,中心角が${60}^\circ$で$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}=a$となる扇形$\mathrm{APQ}$を切り取る.つぎに線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{AQ}$を貼り合わせて,$\mathrm{A}$を頂点とする直円錐$K$を作り,これを点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間におく.
$\mathrm{A}$,$\mathrm{P}$はそれぞれ$z$軸,$x$軸上の正の位置にとり,扇形$\mathrm{APQ}$の弧$\mathrm{PQ}$は$xy$平面上の$\mathrm{O}$を中心とする円$S$になるようにする.
また弦$\mathrm{PQ}$から定まる$K$の側面上の曲線を$C$とする. \imgc{611_2263_2011_1} 以下の問いに答えよ.
(1) $S$の半径を$b$とする.$S$上の点$\mathrm{R}(b \cos \theta,\ b \sin \theta,\ 0) \ \ (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$に対し,$K$上の母線$\mathrm{AR}$と$C$の交点を$\mathrm{M}$とする.$b$と線分$\mathrm{AM}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ.
(2) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$xy$平面に正射影したベクトルの長さを$r$とする.$r$を$a$と$\theta$を用いて表し,定積分 \[ \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \] を求めよ.ただし,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(a_1,\ a_2,\ a_3)$を$xy$平面に{\bf 正射影したベクトル}とは$\overrightarrow{\mathrm{OE}^\prime}=(a_1,\ a_2,\ 0)$のことである.
$\mathrm{A}$,$\mathrm{P}$はそれぞれ$z$軸,$x$軸上の正の位置にとり,扇形$\mathrm{APQ}$の弧$\mathrm{PQ}$は$xy$平面上の$\mathrm{O}$を中心とする円$S$になるようにする.
また弦$\mathrm{PQ}$から定まる$K$の側面上の曲線を$C$とする. \imgc{611_2263_2011_1} 以下の問いに答えよ.
(1) $S$の半径を$b$とする.$S$上の点$\mathrm{R}(b \cos \theta,\ b \sin \theta,\ 0) \ \ (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$に対し,$K$上の母線$\mathrm{AR}$と$C$の交点を$\mathrm{M}$とする.$b$と線分$\mathrm{AM}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ.
(2) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$xy$平面に正射影したベクトルの長さを$r$とする.$r$を$a$と$\theta$を用いて表し,定積分 \[ \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \] を求めよ.ただし,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(a_1,\ a_2,\ a_3)$を$xy$平面に{\bf 正射影したベクトル}とは$\overrightarrow{\mathrm{OE}^\prime}=(a_1,\ a_2,\ 0)$のことである.
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