東京工業大学
2014年 理系 第3問
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$1$個のさいころを投げて,出た目が$1$か$2$であれば行列$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$を,出た目が$3$か$4$であれば行列$B=\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$を,出た目が$5$か$6$であれば行列$C=\left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を選ぶ.そして,選んだ行列の表す$1$次変換によって$xy$平面上の点$\mathrm{R}$を移すという操作を行う.点$\mathrm{R}$は最初は点$(0,\ 1)$にあるものとし,さいころを投げて点$\mathrm{R}$を移す操作を$n$回続けて行ったときに点$\mathrm{R}$が点$(0,\ 1)$にある確率を$p_n$,点$(0,\ -1)$にある確率を$q_n$とする.
(1) $p_1,\ p_2$と$q_1$,$q_2$を求めよ.
(2) $p_n+q_n$と$p_{n-1}+q_{n-1}$の関係式を求めよ.また,$p_n-q_n$と$p_{n-1}-q_{n-1}$の関係式を求めよ.
(3) $p_n$を$n$を用いて表せ.
(1) $p_1,\ p_2$と$q_1$,$q_2$を求めよ.
(2) $p_n+q_n$と$p_{n-1}+q_{n-1}$の関係式を求めよ.また,$p_n-q_n$と$p_{n-1}-q_{n-1}$の関係式を求めよ.
(3) $p_n$を$n$を用いて表せ.
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