埼玉大学
2014年 理学部 第3問
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![f(x)=x^3-1/2xとする.曲線C:y=f(x)上に2点P(t,f(t)),Q(-t,f(-t))(t>0)をとり,点Pにおける接線と法線,および,点Qにおける接線と法線によって囲まれる図形をAとする.(1)点Pにおける接線をℓ_1,法線をℓ_2とし,原点(0,0)とℓ_1,ℓ_2との距離をそれぞれd_1,d_2とおく.d_1,d_2をtを用いて表せ.(2)(1)で定めたd_1,d_2に対し,d_1=d_2となるようなtの値をすべて求めよ.(3)(2)で求めたそれぞれのtの値に対し,図形Aの面積を求めよ.](./thumb/118/1351/2014_3.png)
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$\displaystyle f(x)=x^3-\frac{1}{2}x$とする.曲線$C:y=f(x)$上に$2$点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$,$\mathrm{Q}(-t,\ f(-t))$ \ \ $(t>0)$をとり,点$\mathrm{P}$における接線と法線,および,点$\mathrm{Q}$における接線と法線によって囲まれる図形を$A$とする.
(1) 点$\mathrm{P}$における接線を$\ell_1$,法線を$\ell_2$とし,原点$(0,\ 0)$と$\ell_1$,$\ell_2$との距離をそれぞれ$d_1,\ d_2$とおく.$d_1,\ d_2$を$t$を用いて表せ.
(2) $(1)$で定めた$d_1,\ d_2$に対し,$d_1=d_2$となるような$t$の値をすべて求めよ.
(3) $(2)$で求めたそれぞれの$t$の値に対し,図形$A$の面積を求めよ.
(1) 点$\mathrm{P}$における接線を$\ell_1$,法線を$\ell_2$とし,原点$(0,\ 0)$と$\ell_1$,$\ell_2$との距離をそれぞれ$d_1,\ d_2$とおく.$d_1,\ d_2$を$t$を用いて表せ.
(2) $(1)$で定めた$d_1,\ d_2$に対し,$d_1=d_2$となるような$t$の値をすべて求めよ.
(3) $(2)$で求めたそれぞれの$t$の値に対し,図形$A$の面積を求めよ.
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