立教大学
2015年 経済(経済、会計)・観光(観光)・コミュ(スポーツ) 第3問
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次の条件を満たす数列$\{a_n\}$を考える.
\[ a_1=4,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2} \{3+(-1)^n\}a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき,次の問に答えよ.
(1) 奇数番目の項のみからなる数列を$\{b_n\}$,偶数番目の項のみからなる数列を$\{c_n\}$とする.つまり,$b_n=a_{2n-1}$,$c_n=a_{2n}$とする.$b_{n+1}$,$c_n$,$b_n$が次の関係式を満たすとき,定数$A,\ B,\ C,\ D$の値をそれぞれ求めよ. \[ \begin{array}{r} b_{n+1}=Ac_n+B \\ \phantom{\frac{\fbox{}}{2}} c_n=Cb_n+D \end{array} \qquad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
(2) $(1)$において$c_n$を消去し,$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ.
(3) 数列$\{b_n\}$,$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(4) 数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$2k$項までの和$S_{2k}$を$k$を用いて表せ.
(1) 奇数番目の項のみからなる数列を$\{b_n\}$,偶数番目の項のみからなる数列を$\{c_n\}$とする.つまり,$b_n=a_{2n-1}$,$c_n=a_{2n}$とする.$b_{n+1}$,$c_n$,$b_n$が次の関係式を満たすとき,定数$A,\ B,\ C,\ D$の値をそれぞれ求めよ. \[ \begin{array}{r} b_{n+1}=Ac_n+B \\ \phantom{\frac{\fbox{}}{2}} c_n=Cb_n+D \end{array} \qquad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
(2) $(1)$において$c_n$を消去し,$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ.
(3) 数列$\{b_n\}$,$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(4) 数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$2k$項までの和$S_{2k}$を$k$を用いて表せ.
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