宮城教育大学
2013年 教育学部(中等数学) 第3問
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空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{O}$があり,
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{DO}}| \]
を満たしている.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき,次の問いに答えよ.
(1) 空間内の点$\mathrm{P}$について,$l,\ m,\ n$を実数とし, \[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=l \overrightarrow{b}+m \overrightarrow{c}+n \overrightarrow{d} \] とする.このとき,$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2$,$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$をそれぞれ$l,\ m,\ n$を用いて表せ.また,$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$であるための必要十分条件を$l,\ m,\ n$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$であることを示せ.
(3) 線分$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とする.$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$を通る平面と直線$\mathrm{EO}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{d}$を用いて表せ.
(1) 空間内の点$\mathrm{P}$について,$l,\ m,\ n$を実数とし, \[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=l \overrightarrow{b}+m \overrightarrow{c}+n \overrightarrow{d} \] とする.このとき,$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2$,$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$をそれぞれ$l,\ m,\ n$を用いて表せ.また,$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$であるための必要十分条件を$l,\ m,\ n$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$であることを示せ.
(3) 線分$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とする.$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$を通る平面と直線$\mathrm{EO}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{d}$を用いて表せ.
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