京都薬科大学
2013年 薬学部 第3問
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濃度$a \, \%$の食塩水$300 \, \mathrm{g}$が入っている容器$\mathrm{A}$と,濃度$b \, \%$の食塩水$400 \, \mathrm{g}$が入っている容器$\mathrm{B}$がある.$\mathrm{A}$より$100 \, \mathrm{g}$の食塩水をとってそれを$\mathrm{B}$に移し,よくかき混ぜた後に同量を$\mathrm{A}$に戻すとする.この操作を$n$回繰り返したときの$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の食塩水の濃度を求めたい.次の$\fbox{}$にあてはまる数または式を記入せよ.
(1) 容器$\mathrm{A}$と容器$\mathrm{B}$に,最初にあった食塩の量の和は$\fbox{$\ast$} \mathrm{g}$である.
(2) $n \ \ (\geqq 1)$回の操作の後,容器$\mathrm{A}$の濃度が$x_n \, \%$,容器$\mathrm{B}$の濃度が$y_n \, \%$になっていたとする.$y_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと, \[ y_n=\fbox{} x_{n-1}+\fbox{} y_{n-1} \] となる.また,$x_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと, \[ x_n=\fbox{} x_{n-1}+\fbox{} y_{n-1} \] となる.
(3) 食塩の量の和は一定であることに注意すると, \[ \fbox{$\ast \ast$} x_n+\fbox{$\ast\ast\ast$} y_n=\fbox{$\ast\ast$} x_{n-1}+\fbox{$\ast\ast\ast$} y_{n-1}=\cdots =\fbox{$\ast$} \]
(4) $(3)$で与えられた関係式を使って,数列$\{x_n\}$の漸化式をつくると, \[ x_n=\fbox{} x_{n-1}+\fbox{} \] となる.この漸化式を解くことによって,$x_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと, \[ x_n=\fbox{} \] また,$y_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと, \[ y_n=\fbox{} \] となる.
(1) 容器$\mathrm{A}$と容器$\mathrm{B}$に,最初にあった食塩の量の和は$\fbox{$\ast$} \mathrm{g}$である.
(2) $n \ \ (\geqq 1)$回の操作の後,容器$\mathrm{A}$の濃度が$x_n \, \%$,容器$\mathrm{B}$の濃度が$y_n \, \%$になっていたとする.$y_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと, \[ y_n=\fbox{} x_{n-1}+\fbox{} y_{n-1} \] となる.また,$x_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと, \[ x_n=\fbox{} x_{n-1}+\fbox{} y_{n-1} \] となる.
(3) 食塩の量の和は一定であることに注意すると, \[ \fbox{$\ast \ast$} x_n+\fbox{$\ast\ast\ast$} y_n=\fbox{$\ast\ast$} x_{n-1}+\fbox{$\ast\ast\ast$} y_{n-1}=\cdots =\fbox{$\ast$} \]
(4) $(3)$で与えられた関係式を使って,数列$\{x_n\}$の漸化式をつくると, \[ x_n=\fbox{} x_{n-1}+\fbox{} \] となる.この漸化式を解くことによって,$x_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと, \[ x_n=\fbox{} \] また,$y_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと, \[ y_n=\fbox{} \] となる.
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