京都工芸繊維大学
2011年 工芸科学 第3問
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![次の問いに答えよ.(1)不定積分∫\frac{1}{x^2}logxdxおよび∫\frac{1}{x^2}(logx)^2dxを求めよ.(2)実数aに対して,曲線y=1/x(a+logx)(1≦x≦e)とx軸および2直線x=1,x=eで囲まれた部分を,x軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をVとする.Vをaを用いて表せ.また,aが実数全体を動くとき,Vを最小とするaの値を求めよ.](./thumb/474/2608/2011_3.png)
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次の問いに答えよ.
(1) 不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \log x \, dx$および$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} (\log x)^2 \, dx$を求めよ.
(2) 実数$a$に対して,曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}(a+\log x) \ (1 \leqq x \leqq e)$と$x$軸および2直線$x=1,\ x=e$で囲まれた部分を,$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V$とする.$V$を$a$を用いて表せ.また,$a$が実数全体を動くとき,$V$を最小とする$a$の値を求めよ.
(1) 不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \log x \, dx$および$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} (\log x)^2 \, dx$を求めよ.
(2) 実数$a$に対して,曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}(a+\log x) \ (1 \leqq x \leqq e)$と$x$軸および2直線$x=1,\ x=e$で囲まれた部分を,$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V$とする.$V$を$a$を用いて表せ.また,$a$が実数全体を動くとき,$V$を最小とする$a$の値を求めよ.
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