神戸大学
2015年 理系 第3問
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![aを正の実数とする.座標平面上の曲線Cをy=x^4-2(a+1)x^3+3ax^2で定める.曲線Cが2つの変曲点P,Qをもち,それらのx座標の差が√2であるとする.以下の問に答えよ.(1)aの値を求めよ.(2)線分PQの中点とx座標が一致するような,C上の点をRとする.三角形PQRの面積を求めよ.(3)曲線C上の点Pにおける接線がP以外でCと交わる点をP´とし,点Qにおける接線がQ以外でCと交わる点をQ´とする.線分P´Q´の中点のx座標を求めよ.](./thumb/558/1534/2015_3.png)
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$a$を正の実数とする.座標平面上の曲線$C$を
\[ y=x^4-2(a+1)x^3+3ax^2 \]
で定める.曲線$C$が$2$つの変曲点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$をもち,それらの$x$座標の差が$\sqrt{2}$であるとする.以下の問に答えよ.
(1) $a$の値を求めよ.
(2) 線分$\mathrm{PQ}$の中点と$x$座標が一致するような,$C$上の点を$\mathrm{R}$とする.三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
(3) 曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線が$\mathrm{P}$以外で$C$と交わる点を$\mathrm{P}^\prime$とし,点$\mathrm{Q}$における接線が$\mathrm{Q}$以外で$C$と交わる点を$\mathrm{Q}^\prime$とする.線分$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime$の中点の$x$座標を求めよ.
(1) $a$の値を求めよ.
(2) 線分$\mathrm{PQ}$の中点と$x$座標が一致するような,$C$上の点を$\mathrm{R}$とする.三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
(3) 曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線が$\mathrm{P}$以外で$C$と交わる点を$\mathrm{P}^\prime$とし,点$\mathrm{Q}$における接線が$\mathrm{Q}$以外で$C$と交わる点を$\mathrm{Q}^\prime$とする.線分$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime$の中点の$x$座標を求めよ.
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