上智大学
2012年 法(国際),総合(社会) 第2問
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![1辺の長さが√2の正方形ABCDを底面とし,PA=PB=PC=PD=√5である四角錐PABCDを考える.(プレビューでは図は省略します)(1)四角錐PABCDのすべての面に接する球の中心をOとし,Pから底面ABCDに垂線PHを下ろすときPH=[テ],OH=\frac{[ト]}{[ナ]}である.(2)辺PBの中点をQ,辺PDの中点をRとする.3点Q,R,Cを含む平面と辺PAとの交点をSとする.このときSP=\frac{[ニ]}{[ヌ]}\sqrt{[ネ]}である.Sから線分ACに垂線STを下ろすときST=\frac{[ノ]}{[ハ]},CT=\frac{[ヒ]}{[フ]}である.さらに,四角形CRSQの面積は\frac{[ヘ]}{[ホ]}\sqrt{[マ]}である.](./thumb/220/145/2012_2.png)
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$1$辺の長さが$\sqrt{2}$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし,
\[ \mathrm{PA} = \mathrm{PB} = \mathrm{PC} = \mathrm{PD} = \sqrt{5} \]
である四角錐$\mathrm{PABCD}$を考える.
\imgc{220_145_2012_1}
(1) 四角錐$\mathrm{PABCD}$のすべての面に接する球の中心を$\mathrm{O}$とし,$\mathrm{P}$から底面$\mathrm{ABCD}$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき \[ \mathrm{PH}=\fbox{テ},\quad \mathrm{OH}=\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}} \] である.
(2) 辺$\mathrm{PB}$の中点を$\mathrm{Q}$,辺$\mathrm{PD}$の中点を$\mathrm{R}$とする.$3$点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{C}$を含む平面と辺$\mathrm{PA}$との交点を$\mathrm{S}$とする.このとき \[ \mathrm{SP}=\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}} \sqrt{\fbox{ネ}} \] である.$\mathrm{S}$から線分$\mathrm{AC}$に垂線$\mathrm{ST}$を下ろすとき \[ \mathrm{ST}=\frac{\fbox{ノ}}{\fbox{ハ}},\quad \mathrm{CT}=\frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}} \] である.さらに,四角形$\mathrm{CRSQ}$の面積は \[ \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}} \sqrt{\fbox{マ}} \] である.
(1) 四角錐$\mathrm{PABCD}$のすべての面に接する球の中心を$\mathrm{O}$とし,$\mathrm{P}$から底面$\mathrm{ABCD}$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき \[ \mathrm{PH}=\fbox{テ},\quad \mathrm{OH}=\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}} \] である.
(2) 辺$\mathrm{PB}$の中点を$\mathrm{Q}$,辺$\mathrm{PD}$の中点を$\mathrm{R}$とする.$3$点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{C}$を含む平面と辺$\mathrm{PA}$との交点を$\mathrm{S}$とする.このとき \[ \mathrm{SP}=\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}} \sqrt{\fbox{ネ}} \] である.$\mathrm{S}$から線分$\mathrm{AC}$に垂線$\mathrm{ST}$を下ろすとき \[ \mathrm{ST}=\frac{\fbox{ノ}}{\fbox{ハ}},\quad \mathrm{CT}=\frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}} \] である.さらに,四角形$\mathrm{CRSQ}$の面積は \[ \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}} \sqrt{\fbox{マ}} \] である.
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