茨城大学
2011年 理学部 第1問
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![f(x)=e^{-x^2}(x≧0)とする.以下の各問に答えよ.(1)x≧0に対して,不等式e^x>xおよびe^x>\frac{x^2}{2}が成り立つことを示せ.(2)\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0および\lim_{t→+0}tlog1/t=0を示せ.(3)f(x)は減少関数であることを示せ.また,y=f(x)の逆関数x=g(y)を求めよ.(4)aを0<a<1を満たす実数とする.y軸,y=f(x)のグラフおよび直線y=aで囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積V(a)を求めよ.(5)(4)で求めたV(a)に対し\lim_{a→+0}V(a)を求めよ.](./thumb/85/2188/2011_1.png)
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$f(x)=e^{-x^2} \ (x \geqq 0)$とする.以下の各問に答えよ.
(1) $x \geqq 0$に対して,不等式$e^x>x$および$\displaystyle e^x>\frac{x^2}{2}$が成り立つことを示せ.
(2) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$および$\displaystyle \lim_{t \to +0} t \log \frac{1}{t}=0$を示せ.
(3) $f(x)$は減少関数であることを示せ.また,$y = f(x)$の逆関数$x = g(y)$を求めよ.
(4) $a$を$0<a<1$を満たす実数とする.$y$軸,$y= f(x)$のグラフおよび直線$y = a$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V(a)$を求めよ.
(5) (4)で求めた$V(a)$に対し$\displaystyle \lim_{a \to +0}V(a)$を求めよ.
(1) $x \geqq 0$に対して,不等式$e^x>x$および$\displaystyle e^x>\frac{x^2}{2}$が成り立つことを示せ.
(2) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$および$\displaystyle \lim_{t \to +0} t \log \frac{1}{t}=0$を示せ.
(3) $f(x)$は減少関数であることを示せ.また,$y = f(x)$の逆関数$x = g(y)$を求めよ.
(4) $a$を$0<a<1$を満たす実数とする.$y$軸,$y= f(x)$のグラフおよび直線$y = a$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V(a)$を求めよ.
(5) (4)で求めた$V(a)$に対し$\displaystyle \lim_{a \to +0}V(a)$を求めよ.
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