群馬大学
2013年 教育学部(数学・技術・理科) 第15問
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原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円を$\mathrm{A}$とする.半径$1$の円(以下,「動円」と呼ぶ)は,円$\mathrm{A}$に外接しながら,すべることなく転がる.ただし,動円の中心は円$\mathrm{A}$の中心に関し反時計回りに動く.動円上の点$\mathrm{P}$の始めの位置を$(2,\ 0)$とする.動円の中心と原点を結ぶ線分が$x$軸の正方向となす角を$\theta$として,$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で動かしたときの$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする.
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(1) $C$を媒介変数$\theta$を用いて表せ.
(2) $\mathrm{P}$の$y$座標が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき,$\mathrm{P}$での$C$の接線の傾きを求めよ.
(3) $C$の長さを求めよ.ただし,曲線$x=f(\theta),\ y=g(\theta) \ (\alpha \leqq \theta \leqq \beta)$の長さは \\ $\displaystyle \int_\alpha^\beta \sqrt{\left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2+\left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2} \, d\theta$で与えられる.
(1) $C$を媒介変数$\theta$を用いて表せ.
(2) $\mathrm{P}$の$y$座標が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき,$\mathrm{P}$での$C$の接線の傾きを求めよ.
(3) $C$の長さを求めよ.ただし,曲線$x=f(\theta),\ y=g(\theta) \ (\alpha \leqq \theta \leqq \beta)$の長さは \\ $\displaystyle \int_\alpha^\beta \sqrt{\left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2+\left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2} \, d\theta$で与えられる.
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