福井大学
2011年 教育地域科学 第5問
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Oを原点とする座標平面上に3点A$(1,\ 0)$,B$(1,\ 1)$,C$(0,\ c)$がある.ただし,$c$は正の定数とする.$t$を$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数とし,線分AB,BCを$t:(1-t)$に内分する点をそれぞれP,Qとする.ただし,例えば線分ABを$t:(1-t)$に内分する点は,$t=0$のときはA,$t=1$のときはBとする.$\triangle$OPQの面積を$S(t)$とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) $t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき,$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ.
(2) $\displaystyle I=\int_0^1 S(t) \, dt$の値が台形OABCの面積の$\displaystyle \frac{2}{5}$倍に等しくなるとき,$c$と$I$の値をそれぞれ求めよ.
(3) $0 \leqq t <1$に対し,線分QOを$t:(1-t)$に内分する点をRとし,$\triangle$OPRの面積を$T(t)$とする.$T(t)$が$\displaystyle t=\frac{1}{3}$で最大となるような$c$の値と,そのときの$T(t)$の最大値を求めよ.
(1) $t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき,$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ.
(2) $\displaystyle I=\int_0^1 S(t) \, dt$の値が台形OABCの面積の$\displaystyle \frac{2}{5}$倍に等しくなるとき,$c$と$I$の値をそれぞれ求めよ.
(3) $0 \leqq t <1$に対し,線分QOを$t:(1-t)$に内分する点をRとし,$\triangle$OPRの面積を$T(t)$とする.$T(t)$が$\displaystyle t=\frac{1}{3}$で最大となるような$c$の値と,そのときの$T(t)$の最大値を求めよ.
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