福井大学
2010年 教育地域科学 第2問
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![平面上に OA = OB =1である鋭角二等辺三角形OABがある.ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOBとし,k=ベクトルa・ベクトルbとおく.点Aから辺OBに下ろした垂線とOBとの交点をMとし,Mから辺OAに下ろした垂線とOAとの交点をNとする.さらに,線分AMと線分BNの交点をPとするとき,以下の問いに答えよ.(1)ベクトルOM=sベクトルbとベクトルON=tベクトルaを満たす実数s,tをkを用いて表せ.(2)ベクトルOPをベクトルa,ベクトルbおよびkを用いて表せ.(3)Pが線分BNを4:3に内分するとき,△OABは正三角形であることを示せ.](./thumb/366/2549/2010_2.png)
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平面上に$\text{OA}=\text{OB}=1$である鋭角二等辺三角形OABがある.$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とし,$k=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$とおく.点Aから辺OBに下ろした垂線とOBとの交点をMとし,Mから辺OAに下ろした垂線とOAとの交点をNとする.さらに,線分AMと線分BNの交点をPとするとき,以下の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OM}}=s\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=t\overrightarrow{a}$を満たす実数$s,\ t$を$k$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ.
(3) Pが線分BNを$4:3$に内分するとき,$\triangle$OABは正三角形であることを示せ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OM}}=s\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=t\overrightarrow{a}$を満たす実数$s,\ t$を$k$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ.
(3) Pが線分BNを$4:3$に内分するとき,$\triangle$OABは正三角形であることを示せ.
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