秋田大学
2011年 理系 第2問
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![関数f(x)=e^xについて,次の問いに答えよ.(1)原点からy=f(x)のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ.(2)(1)の接線の接点をP_1とする.点P_1からx軸に下ろした垂線とx軸との交点をA_1(a_1,0)とする.このとき,点A_1からy=f(x)のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ.(3)(2)の接線の接点をP_2とする.点P_2からx軸に下ろした垂線とx軸との交点をA_2(a_2,0)とする.このとき,点A_2からy=f(x)のグラフへ接線を引き,その接点をP_3とする.さらに,点P_3からx軸に下ろした垂線とx軸との交点をA_3(a_3,0)とする.このようにして,次々にx軸上の点A_1(a_1,0),A_2(a_2,0),A_3(a_3,0),・・・を得る.このとき,数列a_1,a_2,a_3,・・・の一般項a_nを推定し,その推定が正しいことを数学的帰納法で証明せよ.](./thumb/66/2105/2011_2.png)
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関数$f(x)=e^x$について,次の問いに答えよ.
(1) 原点から$y=f(x)$のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ.
(2) (1)の接線の接点をP$_1$とする.点P$_1$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をA$_1(a_1,\ 0)$とする.このとき,点A$_1$から$y=f(x)$のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ.
(3) (2)の接線の接点をP$_2$とする.点P$_2$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をA$_2(a_2,\ 0)$とする.このとき,点A$_2$から$y=f(x)$のグラフへ接線を引き,その接点をP$_3$とする.さらに,点P$_3$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をA$_3(a_3,\ 0)$とする.このようにして,次々に$x$軸上の点A$_1(a_1,\ 0)$,A$_2(a_2,\ 0)$,A$_3(a_3,\ 0)$,$\cdots$を得る.このとき,数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$の一般項$a_n$を推定し,その推定が正しいことを数学的帰納法で証明せよ.
(1) 原点から$y=f(x)$のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ.
(2) (1)の接線の接点をP$_1$とする.点P$_1$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をA$_1(a_1,\ 0)$とする.このとき,点A$_1$から$y=f(x)$のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ.
(3) (2)の接線の接点をP$_2$とする.点P$_2$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をA$_2(a_2,\ 0)$とする.このとき,点A$_2$から$y=f(x)$のグラフへ接線を引き,その接点をP$_3$とする.さらに,点P$_3$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をA$_3(a_3,\ 0)$とする.このようにして,次々に$x$軸上の点A$_1(a_1,\ 0)$,A$_2(a_2,\ 0)$,A$_3(a_3,\ 0)$,$\cdots$を得る.このとき,数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$の一般項$a_n$を推定し,その推定が正しいことを数学的帰納法で証明せよ.
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