九州工業大学
2015年 工学部 第3問
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![nを2以上の自然数とし,関数f(x)をf(x)=x^nlogx(x>0)とする.ただし,対数は自然対数とする.次に答えよ.(1)x>0のとき,不等式logx+1/x>0を証明せよ.(2)\lim_{x→+0}x^nlogx=0を示せ.(3)関数f(x)の増減を調べ,その最小値を求めよ.また,曲線y=f(x)の概形をかけ.ただし,曲線の凹凸は調べなくてよい.(4)f(x)が最小値をとるときのxの値をc_nとしI_n=∫_{c_n}^1f(x)dxとする.\lim_{n→∞}n^2I_nを求めよ.](./thumb/678/3144/2015_3.png)
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$n$を$2$以上の自然数とし,関数$f(x)$を$f(x)=x^n \log x \ \ (x>0)$とする.ただし,対数は自然対数とする.次に答えよ.
(1) $x>0$のとき,不等式$\displaystyle \log x+\frac{1}{x}>0$を証明せよ.
(2) $\displaystyle \lim_{x \to +0}x^n \log x=0$を示せ.
(3) 関数$f(x)$の増減を調べ,その最小値を求めよ.また,曲線$y=f(x)$の概形をかけ.ただし,曲線の凹凸は調べなくてよい.
(4) $f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を$c_n$とし \[ I_n=\int_{c_n}^1 f(x) \, dx \] とする.$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2I_n$を求めよ.
(1) $x>0$のとき,不等式$\displaystyle \log x+\frac{1}{x}>0$を証明せよ.
(2) $\displaystyle \lim_{x \to +0}x^n \log x=0$を示せ.
(3) 関数$f(x)$の増減を調べ,その最小値を求めよ.また,曲線$y=f(x)$の概形をかけ.ただし,曲線の凹凸は調べなくてよい.
(4) $f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を$c_n$とし \[ I_n=\int_{c_n}^1 f(x) \, dx \] とする.$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2I_n$を求めよ.
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コメント(2件)
![]() 作りました。(2)ははさみうちです。 |
![]() 解答を知りたいです。お願いします。 |
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