千葉大学
2011年 教育学部(算数・技術) 第11問
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![f(x)=x∫_0^x\frac{dt}{1+t^2},g(x)=log(1+x^2)(x は実数 )とおく.ただし,logxはxの自然対数を表す.(1)∫_0^1f(x)dxの値を求めよ.(2)x>0のときf(x)>g(x)であることを証明せよ.(3)\lim_{n→∞}{(1/nΣ_{k=1}^nlog(k^2+n^2))-2logn}の値を求めよ.](./thumb/146/1726/2011_11.png)
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$\displaystyle f(x)=x\int_0^x \frac{dt}{1+t^2},\ \ g(x)=\log (1+x^2) \ (x \text{は実数})$とおく.ただし,$\log x$は$x$の自然対数を表す.
(1) $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ.
(2) $x>0$のとき$f(x) > g(x)$であることを証明せよ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log (k^2+n^2) \right) -2\log n \right\}$の値を求めよ.
(1) $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ.
(2) $x>0$のとき$f(x) > g(x)$であることを証明せよ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log (k^2+n^2) \right) -2\log n \right\}$の値を求めよ.
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