日本医科大学
2016年 医学部 第1問
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次の各問いに答えよ.
(1) 円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において,$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$,$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$,$\mathrm{DA}=2$,また$\angle \mathrm{DAB}={60}^\circ$である.四角形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点を$\mathrm{P}$,$\angle \mathrm{BCD}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$,$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき,以下の各問いに答えよ.なお数値の分母は有理化すること.
(ⅰ) 辺$\mathrm{BD}$の長さを求めよ.
(ⅱ) $\angle \mathrm{ABD}$の大きさを求めよ.
(ⅲ) 辺$\mathrm{BP}$の長さを求めよ. [$\tokeishi$] 三角形$\mathrm{PQR}$の内接円の半径を求めよ.
(2) 自然数$n$に対して,$n$を$3$で割った余りを$a_n$,$n^2$を$3$で割った余りを$b_n$とするとき,以下の各問いに答えよ.
(ⅰ) $\displaystyle \sum_{n=1}^{2016} (a_n+b_n)$の値を求めよ.
(ⅱ) $\displaystyle \sum_{n=1}^m (a_{n+2}+b_{n+1}+2a_n)=2016$を満たす自然数$m$の値を求めよ.
(3) $\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に,次のような双曲線$C$と直線$\ell_k$($k$は実数の定数)が与えられているとき,以下の各問いに答えよ. \[ C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=-1 \qquad \ell_k:3x-4y+k=0 \]
(ⅰ) $C$と$\ell_k$が接するような$k$の値を求めよ.
(ⅱ) $C$上の点と直線$\ell_0:3x-4y=0$の距離の最小値を求めよ.
(1) 円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において,$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$,$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$,$\mathrm{DA}=2$,また$\angle \mathrm{DAB}={60}^\circ$である.四角形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点を$\mathrm{P}$,$\angle \mathrm{BCD}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$,$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき,以下の各問いに答えよ.なお数値の分母は有理化すること.
(ⅰ) 辺$\mathrm{BD}$の長さを求めよ.
(ⅱ) $\angle \mathrm{ABD}$の大きさを求めよ.
(ⅲ) 辺$\mathrm{BP}$の長さを求めよ. [$\tokeishi$] 三角形$\mathrm{PQR}$の内接円の半径を求めよ.
(2) 自然数$n$に対して,$n$を$3$で割った余りを$a_n$,$n^2$を$3$で割った余りを$b_n$とするとき,以下の各問いに答えよ.
(ⅰ) $\displaystyle \sum_{n=1}^{2016} (a_n+b_n)$の値を求めよ.
(ⅱ) $\displaystyle \sum_{n=1}^m (a_{n+2}+b_{n+1}+2a_n)=2016$を満たす自然数$m$の値を求めよ.
(3) $\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に,次のような双曲線$C$と直線$\ell_k$($k$は実数の定数)が与えられているとき,以下の各問いに答えよ. \[ C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=-1 \qquad \ell_k:3x-4y+k=0 \]
(ⅰ) $C$と$\ell_k$が接するような$k$の値を求めよ.
(ⅱ) $C$上の点と直線$\ell_0:3x-4y=0$の距離の最小値を求めよ.
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