筑波大学
2014年 理系 第6問
6
![xy平面上に楕円C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9}=1(a>\sqrt{13})および双曲線C_2:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)があり,C_1とC_2は同一の焦点をもつとする.またC_1とC_2の交点P(2\sqrt{1+\frac{t^2}{b^2}},t)(t>0)におけるC_1,C_2の接線をそれぞれℓ_1,ℓ_2とする.(1)aとbの間に成り立つ関係式を求め,点Pの座標をaを用いて表せ.(2)ℓ_1とℓ_2が直交することを示せ.(3)aがa>\sqrt{13}を満たしながら動くときの点Pの軌跡を図示せよ.](./thumb/86/1824/2014_6.png)
6
$xy$平面上に楕円
\[ C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9}=1 \quad (a>\sqrt{13}) \]
および双曲線
\[ C_2:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (b>0) \]
があり,$C_1$と$C_2$は同一の焦点をもつとする.また$C_1$と$C_2$の交点
\[ \mathrm{P} \left( 2 \sqrt{1+\frac{t^2}{b^2}},\ t \right) \quad (t>0) \]
における$C_1$,$C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1$,$\ell_2$とする.
(1) $a$と$b$の間に成り立つ関係式を求め,点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ.
(2) $\ell_1$と$\ell_2$が直交することを示せ.
(3) $a$が$a>\sqrt{13}$を満たしながら動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡を図示せよ.
(1) $a$と$b$の間に成り立つ関係式を求め,点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ.
(2) $\ell_1$と$\ell_2$が直交することを示せ.
(3) $a$が$a>\sqrt{13}$を満たしながら動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡を図示せよ.
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