南山大学
2010年 理工学部 第3問
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![Oを原点とする座標空間に四面体OABCがある.3点A,B,Cの座標は,A(√2,0,0),B(0,√3,0),C(0,0,2)である.また,A,B,Cを通る平面上に点Pがあり,実数s,tに対して,ベクトルAP=sベクトルAB+tベクトルACを満たす.(1)Pの座標をs,tで表せ.(2)ベクトルOP⊥ベクトルAB,ベクトルOP⊥ベクトルACのとき,s,tを求めよ.(3)△ABCの面積を求めよ.(4)(2)のとき,直線APと直線BCの交点をHとする.|ベクトルAH|を求めよ.](./thumb/451/1220/2010_3.png)
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$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に四面体$\mathrm{OABC}$がある.$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の座標は,$\mathrm{A}(\sqrt{2},\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ \sqrt{3},\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$である.また,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る平面上に点$\mathrm{P}$があり,実数$s,\ t$に対して,$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を満たす.
(1) $\mathrm{P}$の座標を$s,\ t$で表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$のとき,$s,\ t$を求めよ.
(3) $\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(4) $(2)$のとき,直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする.$|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|$を求めよ.
(1) $\mathrm{P}$の座標を$s,\ t$で表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$のとき,$s,\ t$を求めよ.
(3) $\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(4) $(2)$のとき,直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする.$|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|$を求めよ.
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