名古屋工業大学
2016年 工学部 第3問
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![座標空間内にO(0,0,0),A(1,2,2),B(1,0,-1),C(2,-1,1)を頂点とする四面体OABCがある.t>0に対して半直線OB上の点PをOB:OP=1:tとなるようにとる.(1)内積ベクトルAC・ベクトルAPをtを用いて表せ.(2)△APCの面積をS(t)とおく.S(t)が最小になるtの値と,そのときのS(t)の値を求めよ.(3)点Qは直線OB上にあり,点Rは直線AC上にある.線分QRの長さの最小値と,そのときの点Rの座標を求めよ.](./thumb/412/2575/2016_3.png)
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座標空間内に
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(1,\ 2,\ 2),\quad \mathrm{B}(1,\ 0,\ -1),\quad \mathrm{C}(2,\ -1,\ 1) \]
を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$がある.$t>0$に対して半直線$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OB}:\mathrm{OP}=1:t$となるようにとる.
(1) 内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$t$を用いて表せ.
(2) $\triangle \mathrm{APC}$の面積を$S(t)$とおく.$S(t)$が最小になる$t$の値と,そのときの$S(t)$の値を求めよ.
(3) 点$\mathrm{Q}$は直線$\mathrm{OB}$上にあり,点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{AC}$上にある.線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値と,そのときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
(1) 内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$t$を用いて表せ.
(2) $\triangle \mathrm{APC}$の面積を$S(t)$とおく.$S(t)$が最小になる$t$の値と,そのときの$S(t)$の値を求めよ.
(3) 点$\mathrm{Q}$は直線$\mathrm{OB}$上にあり,点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{AC}$上にある.線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値と,そのときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
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