大阪大学
2016年 理系 第5問
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![円上の5点A,B,C,D,Eは反時計回りにこの順に並び,円周を5等分している.5点A,B,C,D,Eを頂点とする正五角形をR_1とする.ベクトルAB=ベクトルa,ベクトルCD=ベクトルcとおき,ベクトルaの大きさをxとする.(1)ベクトルACの大きさをyとするとき,x^2=y(y-x)がなりたつことを示せ.(2)ベクトルBCをベクトルa,ベクトルcを用いて表せ.(3)R_1の対角線の交点として得られるR_1の内部の5つの点を頂点とする正五角形をR_2とする.R_2の一辺の長さをxを用いて表せ.(4)n=1,2,3,・・・に対して,R_nの対角線の交点として得られるR_nの内部の5つの点を頂点とする正五角形をR_{n+1}とし,R_nの面積をS_nとする.\lim_{n→∞}\frac{1}{S_1}Σ_{k=1}^n(-1)^{k+1}S_kを求めよ.(プレビューでは図は省略します)](./thumb/504/1065/2016_5.png)
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円上の$5$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$は反時計回りにこの順に並び,円周を$5$等分している.$5$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_1$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{c}$とおき,$\overrightarrow{a}$の大きさを$x$とする.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさを$y$とするとき,$x^2=y(y-x)$がなりたつことを示せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{R}_1$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_1$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_2$とする.$\mathrm{R}_2$の一辺の長さを$x$を用いて表せ.
(4) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,$\mathrm{R}_n$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_n$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_{n+1}$とし,$\mathrm{R}_n$の面積を$S_n$とする. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{S_1} \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}S_k \] を求めよ. \imgc{504_1065_2016_1}
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさを$y$とするとき,$x^2=y(y-x)$がなりたつことを示せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{R}_1$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_1$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_2$とする.$\mathrm{R}_2$の一辺の長さを$x$を用いて表せ.
(4) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,$\mathrm{R}_n$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_n$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_{n+1}$とし,$\mathrm{R}_n$の面積を$S_n$とする. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{S_1} \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}S_k \] を求めよ. \imgc{504_1065_2016_1}
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![](./thumb/77/3201/2016_3s.png)
![](./thumb/79/2310/2014_1s.png)
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