富山大学
2011年 薬学部 第3問
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実数を成分とする行列$A=\biggl( \begin{array}{rr}
a & -b \\
b & c
\end{array} \biggr)$は$A^2-A+E=O$をみたすとする.ただし,$E$は2次の単位行列,$O$は2次の零行列を表し,$b>0$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $b$と$c$を,それぞれ$a$を用いて表せ.
(2) 2つのベクトル$A \biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \biggr)$と$A \biggl( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \biggr)$が垂直であるとき,行列$A$を求めよ.
(3) $A$を(2)で求めた行列とする.1個のさいころを2回投げて,出た目を順に$\ell,\ m$とする.このときベクトル$P_0,\ P_1,\ P_2,\ P_3$を次のように定める. \begin{itemize}
$P_0=\biggl( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \biggr),\ \ P_1=\biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \biggr)$
$P_2=P_1+A^{\ell}(P_1-P_0)$
$P_3=P_2+A^m(P_2-P_1)$ \end{itemize} このとき,$P_3=\biggl( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \biggr)$となる確率を求めよ.
(1) $b$と$c$を,それぞれ$a$を用いて表せ.
(2) 2つのベクトル$A \biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \biggr)$と$A \biggl( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \biggr)$が垂直であるとき,行列$A$を求めよ.
(3) $A$を(2)で求めた行列とする.1個のさいころを2回投げて,出た目を順に$\ell,\ m$とする.このときベクトル$P_0,\ P_1,\ P_2,\ P_3$を次のように定める. \begin{itemize}
$P_0=\biggl( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \biggr),\ \ P_1=\biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \biggr)$
$P_2=P_1+A^{\ell}(P_1-P_0)$
$P_3=P_2+A^m(P_2-P_1)$ \end{itemize} このとき,$P_3=\biggl( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \biggr)$となる確率を求めよ.
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