右の図において，直線$\ell$は$2$つの円$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$の共通接線で，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は接点です．円$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$の半径をそれぞれ$3,\ 5$とし，$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$間の距離を$6$とします．直線$\ell$と直線$\mathrm{OO}^\prime$の交点を$\mathrm{P}$とします．また$2$つの円の交点を$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とし，直線$\ell$と直線$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{CD}$と直線$\mathrm{PO}^\prime$の交点を$\mathrm{F}$とします．次の問いに答えなさい．
(1) 線分$\mathrm{AB}$の長さを求めなさい．
(2) $\mathrm{E}$が線分$\mathrm{AB}$の中点であることを示しなさい．
(3) 線分$\mathrm{EF}$の長さを求めなさい．