鳴門教育大学
2011年 教育学部 第4問
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$a,\ b$を実数とするとき，次のことを示せ．
(1) $a,\ b$の少なくとも$1$つが無理数であるための必要十分条件は，$a+b$，$a-b$の少なくとも$1$つが無理数となることである．
(2) $a+b,\ ab$がともに有理数であることは，$a,\ b$がともに有理数であるための必要条件であるが，十分条件ではない．
(3) $a+b,\ ab,\ a^3-b^3$がすべて有理数であれば，$a,\ b$はともに有理数である．
(1) $a,\ b$の少なくとも$1$つが無理数であるための必要十分条件は，$a+b$，$a-b$の少なくとも$1$つが無理数となることである．
(2) $a+b,\ ab$がともに有理数であることは，$a,\ b$がともに有理数であるための必要条件であるが，十分条件ではない．
(3) $a+b,\ ab,\ a^3-b^3$がすべて有理数であれば，$a,\ b$はともに有理数である．
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