京都教育大学
2011年 教育学部 第5問
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放物線$C:y=-x^2+1$上の異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ -a^2+1)$，$\mathrm{B}(b,\ -b^2+1)$におけるそれぞれの接線$\ell,\ m$が直交するとする．次の問に答えよ．
(1) 任意の実数$r$に対して \[ \alpha+\beta=r,\quad \alpha\beta=-\frac{1}{4} \] をみたす実数$\alpha,\ \beta$が存在することを示せ．
(2) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が上の条件をみたしながら動くとき，直線$\mathrm{AB}$が$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の取り方によらず常に通る点の座標を求めよ．
(3) $\ell$と$m$の交点の軌跡を求めよ．
(1) 任意の実数$r$に対して \[ \alpha+\beta=r,\quad \alpha\beta=-\frac{1}{4} \] をみたす実数$\alpha,\ \beta$が存在することを示せ．
(2) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が上の条件をみたしながら動くとき，直線$\mathrm{AB}$が$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の取り方によらず常に通る点の座標を求めよ．
(3) $\ell$と$m$の交点の軌跡を求めよ．
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