藤田保健衛生大学
2012年 医学部 第3問
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次の問いに答えよ.
(1) 連立$1$次方程式 \[ \left\{ \begin{array}{l} 5x-y=kx \\ 6x-2y=ky \end{array} \right. \] が$(x,\ y)=(0,\ 0)$以外の解をもつような$k$を$k_1,\ k_2$(ただし$k_1<k_2$)とおくと,$k_1=\fbox{$7$}$,$k_2=\fbox{$8$}$である.
(2) $(1)$で求めた$k_1$に対して$(x,\ y)=(1,\ a)$,$k_2$に対して$(x,\ y)=(b,\ 1)$が各々上の連立$1$次方程式を満たすとき,行列$A$と$P$を \[ A=\left( \begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 6 & -2 \end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc} 1 & b \\ a & 1 \end{array} \right) \] とおくと$P^{-1}AP=\fbox{$9$}$となる.これより自然数$n$に対して$A^n=\fbox{$10$}$である.
(3) 自然数$n$に対して漸化式 \[ \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=5a_n-b_n \\ b_{n+1}=6a_n-2b_n \end{array} \right. ,\quad a_1=1,\ b_1=2 \] を満たす数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めると,$a_n=\fbox{$11$}$,$b_n=\fbox{$12$}$である.
(1) 連立$1$次方程式 \[ \left\{ \begin{array}{l} 5x-y=kx \\ 6x-2y=ky \end{array} \right. \] が$(x,\ y)=(0,\ 0)$以外の解をもつような$k$を$k_1,\ k_2$(ただし$k_1<k_2$)とおくと,$k_1=\fbox{$7$}$,$k_2=\fbox{$8$}$である.
(2) $(1)$で求めた$k_1$に対して$(x,\ y)=(1,\ a)$,$k_2$に対して$(x,\ y)=(b,\ 1)$が各々上の連立$1$次方程式を満たすとき,行列$A$と$P$を \[ A=\left( \begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 6 & -2 \end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc} 1 & b \\ a & 1 \end{array} \right) \] とおくと$P^{-1}AP=\fbox{$9$}$となる.これより自然数$n$に対して$A^n=\fbox{$10$}$である.
(3) 自然数$n$に対して漸化式 \[ \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=5a_n-b_n \\ b_{n+1}=6a_n-2b_n \end{array} \right. ,\quad a_1=1,\ b_1=2 \] を満たす数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めると,$a_n=\fbox{$11$}$,$b_n=\fbox{$12$}$である.
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