早稲田大学
2014年 政治経済学部 第3問
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次の各問に答えよ.ただし,$(2)$は答のみ解答欄に記入せよ.
(1) 放物線$y=ax^2+bx \ \ (a>0)$と直線$y=mx$が異なる$2$点で交わるとする.原点と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき,放物線と直線で囲まれた図形の面積は$\displaystyle S=\frac{1}{6}a |\alpha|^3$であることを示せ.
(2) $2$つの放物線$C_1:y=a_1x^2+b_1x$,$C_2:y=a_2x^2+b_2x$が異なる$2$点で交わるとする.ただし,$a_1a_2<0$とする.
(ⅰ) 放物線$C_1$,$C_2$の$2$つの交点を通る直線を$\ell:y=mx$とするとき,$m$を求めよ.
(ⅱ) 放物線$C_i$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_i \ \ (i=1,\ 2)$とするとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
(ⅲ) $m=1$かつ$S_1=S_2$のとき,$a_i,\ b_i \ \ (i=1,\ 2)$が満たす条件を求めよ.
(1) 放物線$y=ax^2+bx \ \ (a>0)$と直線$y=mx$が異なる$2$点で交わるとする.原点と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき,放物線と直線で囲まれた図形の面積は$\displaystyle S=\frac{1}{6}a |\alpha|^3$であることを示せ.
(2) $2$つの放物線$C_1:y=a_1x^2+b_1x$,$C_2:y=a_2x^2+b_2x$が異なる$2$点で交わるとする.ただし,$a_1a_2<0$とする.
(ⅰ) 放物線$C_1$,$C_2$の$2$つの交点を通る直線を$\ell:y=mx$とするとき,$m$を求めよ.
(ⅱ) 放物線$C_i$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_i \ \ (i=1,\ 2)$とするとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
(ⅲ) $m=1$かつ$S_1=S_2$のとき,$a_i,\ b_i \ \ (i=1,\ 2)$が満たす条件を求めよ.
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