信州大学
2013年 工学部 第3問
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$0<t<1$とする.$xy$平面上の曲線$\displaystyle C_1:y=t \cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$y=2 \sin x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について,次の問いに答えよ.
(1) 2曲線$C_1,\ C_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき,$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を$t$を用いて表せ.
(2) 2曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれた図形の面積を$S(t)$とする.また,2曲線$C_1,\ C_2$と,$x$軸上の2点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$,$(\pi,\ 0)$を結ぶ線分で囲まれた図形の面積を$T(t)$とする.このとき,$S(t)$と$T(t)$を求めよ.
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{t \to +0}\frac{t^2T(t)}{S(t)}$を求めよ.
(1) 2曲線$C_1,\ C_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき,$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を$t$を用いて表せ.
(2) 2曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれた図形の面積を$S(t)$とする.また,2曲線$C_1,\ C_2$と,$x$軸上の2点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$,$(\pi,\ 0)$を結ぶ線分で囲まれた図形の面積を$T(t)$とする.このとき,$S(t)$と$T(t)$を求めよ.
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{t \to +0}\frac{t^2T(t)}{S(t)}$を求めよ.
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