京都工芸繊維大学
2010年 工芸科学 第2問
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![nは2以上の自然数とする.1つの袋と1つの箱がある.袋には白玉3個と赤玉2個が入っており,箱には何も入っていない.次の操作を考える.袋から玉を1個取り出し,白玉なら袋に戻し,赤玉なら箱に入れる.この操作をn回繰り返す.n回目の操作の後,箱に入っている赤玉の個数をXとする.(1)kをn以下の自然数とする.k回目の操作では赤玉を取り出しk回目以外のn-1回の操作では白玉を取り出す確率をnとkを用いて表せ.次に,X=1である確率p_nを求めよ.(2)X=2である確率q_nを求めよ.(3)Xの期待値E_nを求めよ.また,極限\lim_{n→∞}1/nlog(2-E_n)を求めよ.](./thumb/474/2608/2010_2.png)
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$n$は2以上の自然数とする.1つの袋と1つの箱がある.袋には白玉3個と赤玉2個が入っており,箱には何も入っていない.次の操作を考える.
袋から玉を1個取り出し,白玉なら袋に戻し,赤玉なら箱に入れる.
この操作を$n$回繰り返す.$n$回目の操作の後,箱に入っている赤玉の個数を$X$とする.
(1) $k$を$n$以下の自然数とする.$k$回目の操作では赤玉を取り出し$k$回目以外の$n-1$回の操作では白玉を取り出す確率を$n$と$k$を用いて表せ.次に,$X=1$である確率$p_n$を求めよ.
(2) $X=2$である確率$q_n$を求めよ.
(3) $X$の期待値$E_n$を求めよ.また,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\log (2-E_n)$を求めよ.
袋から玉を1個取り出し,白玉なら袋に戻し,赤玉なら箱に入れる.
この操作を$n$回繰り返す.$n$回目の操作の後,箱に入っている赤玉の個数を$X$とする.
(1) $k$を$n$以下の自然数とする.$k$回目の操作では赤玉を取り出し$k$回目以外の$n-1$回の操作では白玉を取り出す確率を$n$と$k$を用いて表せ.次に,$X=1$である確率$p_n$を求めよ.
(2) $X=2$である確率$q_n$を求めよ.
(3) $X$の期待値$E_n$を求めよ.また,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\log (2-E_n)$を求めよ.
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