熊本大学
2012年 理系 第3問
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2つの関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x e^t(\sin t+\cos t)\, dt$と$\displaystyle g(x)=\int_0^x e^t(\cos t-\sin t) \, dt$について,以下の問いに答えよ.
(1) $f(x)$と$g(x)$を求めよ.
(2) $f^{(n)}(x)$と$g^{(n)}(x)$をそれぞれ$f(x)$と$g(x)$の第$n$次導関数とする.
(3) $n \geqq 2$のとき, $f^{(n)}(x)$および$g^{(n)}(x)$を,$f^{(n-1)}(x)$と$g^{(n-1)}(x)$を用いて表せ.
(4) $\{f^{(n)}(x)\}^2+\{g^{(n)}(x)\}^2$を求めよ.
(5) 実数$a$について,$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2a}}{\{f^{(n)}(a)\}^2+\{g^{(n)}(a)\}^2}$の和を求めよ.
(1) $f(x)$と$g(x)$を求めよ.
(2) $f^{(n)}(x)$と$g^{(n)}(x)$をそれぞれ$f(x)$と$g(x)$の第$n$次導関数とする.
(3) $n \geqq 2$のとき, $f^{(n)}(x)$および$g^{(n)}(x)$を,$f^{(n-1)}(x)$と$g^{(n-1)}(x)$を用いて表せ.
(4) $\{f^{(n)}(x)\}^2+\{g^{(n)}(x)\}^2$を求めよ.
(5) 実数$a$について,$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2a}}{\{f^{(n)}(a)\}^2+\{g^{(n)}(a)\}^2}$の和を求めよ.
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