熊本大学
2015年 理系 第3問
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$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする.点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き,辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_1$とし,線分$\mathrm{AX}_1$の長さを$1$とする.また,$\mathrm{BX}_1=1$,$\mathrm{CX}_1=8$とする.各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して以下の操作を行う.
辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き,辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする.また,点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き,辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする.点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き,辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする.
線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) $l_1$を求めよ.
(2) $l_{n+1}$を$l_n$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle l_n>\frac{1}{2}$となる最小の奇数$n$を求めよ.必要ならば,$3.169<\log_2 9<3.17$を用いてもよい.
辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き,辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする.また,点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き,辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする.点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き,辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする.
線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) $l_1$を求めよ.
(2) $l_{n+1}$を$l_n$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle l_n>\frac{1}{2}$となる最小の奇数$n$を求めよ.必要ならば,$3.169<\log_2 9<3.17$を用いてもよい.
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