愛媛大学
2010年 医学部 第9問
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![nを自然数とし,集合A,Bを\begin{align}A={a\;|\;a& は条件(★)をみたす自然数 }\nonumber\\B={a\;|\;a& は条件(☆)をみたす自然数 }\nonumber\end{align}で定める.ただし,条件(★),(☆)は次で与えられるとする.\mon[(★)]2次方程式x^2-ax+2^n=0は異なる2つの実数解α,βをもち,α-βは整数である.\mon[(☆)]2次方程式x^2-ax+2^n=0は異なる2つの整数解α,βをもつ.(1)2つの集合A,Bについて,A=Bが成り立つことを証明せよ.(2)次の問いに答えよ.(i)n=1,2のそれぞれの場合について,集合Aを,要素を書き並べて表せ.(ii)集合Aの要素のうち,最大の数を求めよ.(iii)集合Aのすべての要素の和を求めよ.](./thumb/669/2872/2010_9.png)
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$n$を自然数とし,集合$A,\ B$を
\begin{align}
A= \{ \ a \;|\; a & \text{\ は条件(★)をみたす自然数} \} \nonumber \\
B= \{ \ a \;|\; a & \text{\ は条件(☆)をみたす自然数} \} \nonumber
\end{align}
で定める.ただし,条件(★),(☆)は次で与えられるとする.
[(★)] $2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち,$\alpha-\beta$は整数である. [(☆)] $2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの整数解$\alpha,\ \beta$をもつ.
(1) $2$つの集合$A,\ B$について,$A=B$が成り立つことを証明せよ.
(2) 次の問いに答えよ.
(ⅰ) $n=1,\ 2$のそれぞれの場合について,集合$A$を,要素を書き並べて表せ.
(ⅱ) 集合$A$の要素のうち,最大の数を求めよ.
(ⅲ) 集合$A$のすべての要素の和を求めよ.
[(★)] $2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち,$\alpha-\beta$は整数である. [(☆)] $2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの整数解$\alpha,\ \beta$をもつ.
(1) $2$つの集合$A,\ B$について,$A=B$が成り立つことを証明せよ.
(2) 次の問いに答えよ.
(ⅰ) $n=1,\ 2$のそれぞれの場合について,集合$A$を,要素を書き並べて表せ.
(ⅱ) 集合$A$の要素のうち,最大の数を求めよ.
(ⅲ) 集合$A$のすべての要素の和を求めよ.
類題(関連度順)
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