大阪市立大学
2016年 理系 第4問
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$n$を正の整数とし,$m$を$0$以上$10$以下の整数とする.袋$1$から袋$n$まで,外見では区別のつかない袋が$n$袋ある.$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$について,袋$k$の中には,赤球が$k$個,白球が$n-k$個入っているものとする.袋を$1$つ選んだ後,その選んだ袋について次の操作を$10$回繰り返して行うことにする.
(操作) \ \ 袋から球を$1$つ取り出し,色を確認してその袋に戻す.
赤球をちょうど$m$回取り出す確率を$P_{m,n}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) $P_{m,n}$を求めよ.
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} P_{10,n}$を求めよ.
(3) $m=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 9$について,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_{m,n}=\lim_{n \to \infty} P_{m+1,n}$を示せ.
(操作) \ \ 袋から球を$1$つ取り出し,色を確認してその袋に戻す.
赤球をちょうど$m$回取り出す確率を$P_{m,n}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) $P_{m,n}$を求めよ.
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} P_{10,n}$を求めよ.
(3) $m=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 9$について,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_{m,n}=\lim_{n \to \infty} P_{m+1,n}$を示せ.
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