埼玉大学
2014年 理学部 第2問
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$xy$平面の格子点上に駒「銀」が$1$枚ある.ただし,格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数となる点である.$1$回の操作で,次の$(\mathrm{a})$,$(\mathrm{b})$,$(\mathrm{c})$,$(\mathrm{d})$,$(\mathrm{e})$のいずれか$1$つを等しい確率で選び,駒「銀」を移動させるものとする(下図参照).
$(\mathrm{a})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる.
$(\mathrm{b})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる.
$(\mathrm{c})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる.
$(\mathrm{d})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる.
$(\mathrm{e})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる.
最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし,以下の問いに答えよ.
(1) $3$回の操作の後,駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ.
(2) $n$回の操作の後,駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ.
(3) $n$回の操作の後,駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ. \imgc{118_1352_2014_1}
$(\mathrm{a})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる.
$(\mathrm{b})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる.
$(\mathrm{c})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる.
$(\mathrm{d})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる.
$(\mathrm{e})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる.
最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし,以下の問いに答えよ.
(1) $3$回の操作の後,駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ.
(2) $n$回の操作の後,駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ.
(3) $n$回の操作の後,駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ. \imgc{118_1352_2014_1}
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