整数$m,\ n$は$m \geqq 1$，$n \geqq 2$をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1) $x>0$のとき，$y=\log x$の第$1$次導関数$y^\prime$と第$2$次導関数$y^{\prime\prime}$を求めよ．
(2) 座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(m,\ \log m)$，$\mathrm{B}(m+1,\ \log m)$，$\mathrm{C}(m+1,\ \log (m+1))$を頂点とする三角形の面積を$S_m$とする．$S_m$を$m$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle f(m)=\log m+S_m-\int_m^{m+1} \log x \, dx$とおく．$f(m)<0$が成り立つことを，$y=\log x$のグラフを用いて説明せよ．
(4) $f(1)+f(2)+\cdots +f(n-1)<0$であることを用いて，不等式 \[ \log 1+\log 2+\cdots +\log (n-1)<n \log n-n+1-\frac{1}{2} \log n \] を証明せよ．
(5) 不等式$\displaystyle n!<e \sqrt{n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$を証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底である．