滋賀医科大学
2014年 医学部 第4問
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関数$f(x)$は導関数$f^\prime(x)$および第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもち,区間$0 \leqq x \leqq 1$において,
\[ f(x)>0,\quad \{f^\prime(x)\}^2 \leqq f(x)f^{\prime\prime}(x) \leqq 2 \{f^\prime(x)\}^2 \]
を満たしている.$f(0)=a$,$f(1)=b$とするとき,次の不等式を示せ.
(1) $\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) \leqq \frac{a+b}{2}$
(2) $\displaystyle f \left( \frac{1}{3} \right) \leqq \sqrt[3]{a^2b}$
(3) $\displaystyle f \left( \frac{1}{4} \right) \geqq \frac{4ab}{a+3b}$
(4) $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{4}a+\frac{1}{2} \sqrt{ab}+\frac{1}{4}b$
(1) $\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) \leqq \frac{a+b}{2}$
(2) $\displaystyle f \left( \frac{1}{3} \right) \leqq \sqrt[3]{a^2b}$
(3) $\displaystyle f \left( \frac{1}{4} \right) \geqq \frac{4ab}{a+3b}$
(4) $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{4}a+\frac{1}{2} \sqrt{ab}+\frac{1}{4}b$
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