整数$m$が与えられたとき，$x$に関する整数係数の$2$つの整式$f(x)$，$g(x)$が関係式 \[ f(x) \equiv g(x) \pmod m \] を満たすとは，等式$f(x)-g(x)=mh(x)$を満たすような整数係数の整式$h(x)$が存在することである．
(1) $f(x),\ g(x),\ F(x),\ G(x)$を整数係数の整式とする．もし，ある整数$m$について関係式$f(x) \equiv g(x) \pmod m$，かつ$F(x) \equiv G(x) \pmod m$が満たされるならば，関係式$f(x)+F(x) \equiv g(x)+G(x) \pmod m$，かつ$f(x)F(x) \equiv g(x)G(x) \pmod m$が満たされることを証明せよ．
(2) 正整数$p \ \ (>1)$を素数とする．$p$より小さい任意の正整数$i$に対して二項係数$\comb{p}{i}$は$p$の倍数であることを証明せよ．
(3) 正整数$p \ \ (>1)$を素数とする．任意の正整数$n$について，関係式 \[ (1+x)^{p^n} \equiv 1+x^{p^n} \pmod p \] が満たされることを証明せよ．
(4) 正整数$p \ \ (>1)$を素数とし，$n$を$2$以上の正整数とする．$n-1$個の二項係数$\comb{n}{i} \ \ (1 \leqq i \leqq n-1)$がすべて$p$の倍数であるための必要十分条件は，整数$n$が素数$p$の正べきである（すなわち，適当な正整数$k$を用いて$n=p^k$と表せる）ことを証明せよ．