奈良県立医科大学
2012年 医学部 第1問
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実数$p,\ q$に対して，$x$の$3$次関数$f_{p,q}(x)$を$f_{p,q}(x)=x^3+px+q$によって定める．実数$p,\ q$は，$3$次関数$f_{p,q}(x)$が以下の$3$条件を満たすような範囲を動くとする．
条件$\tokeiichi$：$f_{p,q}(1)=1$
条件$\tokeini$：$f^\prime_{p,q}(0)<0$（ただし，$f^\prime_{p,q}(x)$は$f_{p,q}(x)$の導関数を表す．）
条件$\tokeisan$：$x \geqq 0$のとき，$f_{p,q}(x) \geqq 0$
このとき，定積分 \[ I(p,\ q)=\int_0^1 f_{p,q}(x) \, dx \] を最大にするような$p,\ q$の値，および$I(p,\ q)$の最大値を求めよ．
条件$\tokeiichi$：$f_{p,q}(1)=1$
条件$\tokeini$：$f^\prime_{p,q}(0)<0$（ただし，$f^\prime_{p,q}(x)$は$f_{p,q}(x)$の導関数を表す．）
条件$\tokeisan$：$x \geqq 0$のとき，$f_{p,q}(x) \geqq 0$
このとき，定積分 \[ I(p,\ q)=\int_0^1 f_{p,q}(x) \, dx \] を最大にするような$p,\ q$の値，および$I(p,\ q)$の最大値を求めよ．
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