$n$を自然数とする．$n$個の白球，$n$個の赤球，$1$から$n$までの数字が$1$つずつ書かれた$n$枚のカードがある．次の$\tokeiichi$，$\tokeini$，$\tokeisan$の操作を順に行う．
(ⅰ) $n$枚のカードから$1$枚取り出す．
(ⅱ) 取り出されたカードに書かれた数字と同じ個数の赤球と$n$個の白球を袋に入れる．
(ⅲ) 袋から$1$個の球を取り出す．
このとき，取り出された球が白球である確率を$P_n$とおく．次の問いに答えよ．
(1) $P_1,\ P_2$をそれぞれ求めよ．
(2) 定積分を利用して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．