中央大学
2012年 理工(理数選抜) 第3問
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$h>0,\ d \geqq 0$とし,座標空間において$4$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$,$\mathrm{C}(h,\ 0,\ -d)$,$\mathrm{D}(0,\ h,\ d)$を頂点とする四面体を考える.さらに$\mathrm{CD}=2$とする.したがって,四面体の$6$本の辺のうち向かい合う$2$辺の長さは$3$組とも互いに等しい.つまり
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{CD},\quad \mathrm{AC}=\mathrm{BD},\quad \mathrm{AD}=\mathrm{BC} \]
となっており,$4$つの面はすべて互いに合同である.この四面体$\mathrm{ABCD}$について以下の問いに答えよ.
(1) $h$を$d$で表し,$d$のとりうる値の範囲を求めよ.
点$\mathrm{A}$を通り平面$\mathrm{BCD}$に垂直な直線と平面$\mathrm{BCD}$の交点を$\mathrm{P}$とおく.この点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足とよぶ.同様に,点$\mathrm{B}$から平面$\mathrm{ACD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}$,点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{ABD}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$,点$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{ABC}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{S}$とおく.
(2) 点$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{AB}$上にあることに注意して,$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$の座標を$d$で表せ.また,四面体$\mathrm{ABCD}$の対称性を考慮して,点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の座標を$d$で表せ.さらに,計算により$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=0$を確認せよ.
(3) 辺$\mathrm{BD}$の長さのとりうる値の範囲を求めよ.
(4) 平面$\mathrm{ABC}$と平面$\mathrm{ACD}$が直線$\mathrm{AC}$に沿って角度$\displaystyle \theta \ \ \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$で交わっている.$\theta$のとりうる値の範囲を求めよ.ただし$2$平面の交わる角度とは,それぞれの平面に直交する$2$直線のなす角度である.
(1) $h$を$d$で表し,$d$のとりうる値の範囲を求めよ.
点$\mathrm{A}$を通り平面$\mathrm{BCD}$に垂直な直線と平面$\mathrm{BCD}$の交点を$\mathrm{P}$とおく.この点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足とよぶ.同様に,点$\mathrm{B}$から平面$\mathrm{ACD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}$,点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{ABD}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$,点$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{ABC}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{S}$とおく.
(2) 点$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{AB}$上にあることに注意して,$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$の座標を$d$で表せ.また,四面体$\mathrm{ABCD}$の対称性を考慮して,点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の座標を$d$で表せ.さらに,計算により$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=0$を確認せよ.
(3) 辺$\mathrm{BD}$の長さのとりうる値の範囲を求めよ.
(4) 平面$\mathrm{ABC}$と平面$\mathrm{ACD}$が直線$\mathrm{AC}$に沿って角度$\displaystyle \theta \ \ \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$で交わっている.$\theta$のとりうる値の範囲を求めよ.ただし$2$平面の交わる角度とは,それぞれの平面に直交する$2$直線のなす角度である.
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