立教大学
2012年 理学部(全学部日程) 第2問
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関数$\displaystyle y=\frac{1}{x}$のグラフの$x>0$の部分を曲線$C$とする.実数$t$は$0<t<1$をみたすものとし,$C$上に点P$\displaystyle \left(t,\ \frac{1}{t} \right)$をとる.このとき,次の問(1)~(5)に答えよ.
(1) 曲線$C$上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$における接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}$を通り直線$\ell$と平行な直線を$m$とし,直線$m$と曲線$C$の共有点で点$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする.点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(3) 原点を$\mathrm{O}$とし,$2$つの線分$\mathrm{OP}$,$\mathrm{OQ}$および曲線$C$で囲まれた部分の面積を$S$とする.面積$S$を$t$で表せ.
(4) 点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線,点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線,曲線$C$,および$x$軸で囲まれた部分が,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする.体積$V$を$t$で表せ.
(5) $\displaystyle \lim_{t \to 1-0} \frac{S}{V}$を求めよ.
(1) 曲線$C$上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$における接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}$を通り直線$\ell$と平行な直線を$m$とし,直線$m$と曲線$C$の共有点で点$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする.点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(3) 原点を$\mathrm{O}$とし,$2$つの線分$\mathrm{OP}$,$\mathrm{OQ}$および曲線$C$で囲まれた部分の面積を$S$とする.面積$S$を$t$で表せ.
(4) 点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線,点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線,曲線$C$,および$x$軸で囲まれた部分が,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする.体積$V$を$t$で表せ.
(5) $\displaystyle \lim_{t \to 1-0} \frac{S}{V}$を求めよ.
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