南山大学
2010年 外国語学部 第2問
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$t$を任意の実数として，放物線$C_1:y=x^2-2(3t+2)x+4(3t+5)$を考える．
(1) $C_1$の頂点の座標を$t$で表せ．
(2) $t$の値が変化するとき，$C_1$の頂点が描く曲線$C_2$の方程式を求めよ．また，$C_2$の$y$座標が最大となるときの$t$の値を求めよ．
(3) $(2)$で求めた$C_2$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PQ}$と平行な線分$\mathrm{RS}$の長さが$\mathrm{PQ}$より小さくなるように，$C_2$上に$2$点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を，$x$座標の小さい順にとる．このとき，四角形$\mathrm{PQSR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{RS}$の長さを求めよ．
(1) $C_1$の頂点の座標を$t$で表せ．
(2) $t$の値が変化するとき，$C_1$の頂点が描く曲線$C_2$の方程式を求めよ．また，$C_2$の$y$座標が最大となるときの$t$の値を求めよ．
(3) $(2)$で求めた$C_2$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PQ}$と平行な線分$\mathrm{RS}$の長さが$\mathrm{PQ}$より小さくなるように，$C_2$上に$2$点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を，$x$座標の小さい順にとる．このとき，四角形$\mathrm{PQSR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{RS}$の長さを求めよ．
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