$\fbox{}$の中に答を入れよ．
(1) 実数$a$に対して，$2$つの関数 \[ f(x)=x^2+4ax+8,\quad g(x)=-x^2+(2a-2)x-10 \] を考える．このとき，$g(x) \geqq f(x)$となる$x$が存在するような$a$の値の範囲は$\fbox{ア}$である．また，$f(x)$の最小値が$g(x)$の最大値より大きくなるような$a$の値の範囲は$\fbox{イ}$である．
(2) $0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$x=\sin \theta+\cos \theta$のとりうる値の範囲は$\fbox{ウ}$であり，$y=\sin 2\theta+2(\sin \theta+\cos \theta)$のとりうる値の範囲は$\fbox{エ}$である．
(3) 以下の$4$つの数のうち，$1$番大きな数は$\fbox{オ}$であり，$1$番小さな数は$\fbox{カ}$である． \[ 7^{777},\quad 10^{7 \log_{10}7},\quad 7^{(7^7)},\quad 7777777 \]
(4) $r$を正の実数とする．円$x^2+(y-1)^2=r^2$と曲線$y=x^2$が$x>0$の範囲に異なる$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもつような$r$の値の範囲は$\fbox{キ}$である．さらに，この$r$の範囲で$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{\sqrt{5}}{2}$が成り立つ$r$の値は$r=\fbox{ク}$である．