宮城教育大学
2010年 教育学部(中等数学) 第2問
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![自然数Nは30の倍数である.\begin{align}&U={x\;|\;x は 1 以上 N 以下の奇数 },\nonumber\\&A={x\;|\;x\inU,x は 3 の倍数 },\nonumber\\&B={x\;|\;x\inU,x は 5 の倍数 },\nonumber\end{align}とし,集合U,A,B,A∩Bの要素の個数をそれぞれu_N,a_N,b_N,c_Nと表す.次の問いに答えよ.(1)u_N,a_N,b_N,c_NをNを用いて表せ.(2)N以下の素数の個数をP_Nとするとき,不等式P_N≦u_N-a_N-b_N+c_N+2を示せ.(3)(2)のP_Nについて,\frac{P_N}{N}≦1/3を示せ.](./thumb/53/0/2010_2.png)
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自然数$N$は$30$の倍数である.
\begin{align}
& U=\{x \;|\; x \text{は}1 \text{以上} N \text{以下の奇数} \}, \nonumber \\
& A=\{ x \;|\; x \in U,\ x \text{は}3 \text{の倍数} \}, \nonumber \\
& B=\{ x \;|\; x \in U,\ x \text{は}5 \text{の倍数} \}, \nonumber
\end{align}
とし,集合$U,\ A,\ B,\ A \cap B$の要素の個数をそれぞれ$u_N,\ a_N,\ b_N,\ c_N$と表す.次の問いに答えよ.
(1) $u_N,\ a_N,\ b_N,\ c_N$を$N$を用いて表せ.
(2) $N$以下の素数の個数を$P_N$とするとき,不等式$P_N \leqq u_N-a_N-b_N+c_N+2$を示せ.
(3) (2)の$P_N$について,$\displaystyle \frac{P_N}{N} \leqq \frac{1}{3}$を示せ.
(1) $u_N,\ a_N,\ b_N,\ c_N$を$N$を用いて表せ.
(2) $N$以下の素数の個数を$P_N$とするとき,不等式$P_N \leqq u_N-a_N-b_N+c_N+2$を示せ.
(3) (2)の$P_N$について,$\displaystyle \frac{P_N}{N} \leqq \frac{1}{3}$を示せ.
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